복소함수 예제

지수 함수, 삼각 함수 및 모든 다항함수를 포함한 대부분의 기본 함수는 C → C {displaystyle mathbb {C} to mathbb {C} 전체 복잡한 평면을 전체 함수로 만들고, 합리적 함수 p/q {displaystyle p/q} p와 q가 다항식인 경우 q가 0인 점을 제외하는 도메인에서는 홀로모픽입니다. 격리된 점 집합을 제외한 모든 곳에서 홀로모픽인 이러한 함수를 중형성 함수라고 합니다. 한편, 함수 zR (z) {디스플레이 스타일 zmapsto Re (z)} , z | z | {디스플레이 스타일 zmapsto |z|} 그리고 z-z □디스플레이 스타일 zmapsto {bar {z}}는 코시-리만 조건을 충족하지 못하여 보여질 수 있듯이 복잡한 평면의 어느 곳에서도 홀로모픽이 아닙니다(아래 참조). 이 모든 것은 하나의 변수에서 복잡한 분석을 의미합니다. 또한 파워 시리즈 확장과 같은 해석 특성이 하나의 복잡한 차원에서 홀로모픽 함수의 기하학적 특성의 대부분을 이월하는 하나 이상의 복잡한 치수에서 복잡한 해석이론이 매우 풍부합니다. 이월하지 않습니다. 1차원 이론에서 가장 중요한 결과일 수 있는 복잡한 평면에서 특정 도메인의 상호 관계에 대한 Riemann 매핑 정리는 더 높은 차원에서 극적으로 실패합니다. 복잡성 값 함수의 일부 속성(예: 연속성)은 두 실제 변수의 벡터 값 함수의 해당 속성에 지나지 않습니다. 분화성과 같은 복잡한 분석의 다른 개념은 실제 함수에 대해 유사한 개념의 직접적인 일반화이지만 매우 상이한 특성을 가질 수 있다. 특히 모든 분별 가능한 복잡한 함수는 분석적이며(다음 섹션 참조) 점 의 영역에서 동일한 두 가지 차별화 가능한 함수는 도메인의 교차점(도메인이 연결된 경우)에서 동일합니다. 후자의 속성은 분석 연속원리의 기초로, 도메인이 제한된 수의 곡선 호가 제거된 전체 복잡한 평면인 복잡한 해석 함수를 얻기 위한 고유한 방식으로 모든 실제 해석 함수를 확장할 수 있습니다. 지수 함수, 로그 함수 및 삼각 함수를 포함하여 많은 기본 및 특수 복잡한 함수가 이러한 방식으로 정의됩니다.

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